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Tag:王老汉的烦恼 概率与频率的应用 铃伴随着清脆铃声的响起,我踏上了讲台。 同学们,今天请大家来帮助王老汉来解决一下难题,好吗? 同学们都显出了极浓的兴趣。 我于是在黑板上
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  王老汉的烦恼 ——概率与频率的应用 “铃——”伴随着清脆铃声的响起,我踏上了讲台。 “同学们,今天请大家来帮助王老汉来解决一下难题,好吗?” 同学们都显出了极浓的兴趣。 我于是在黑板上展示了问题:王老汉养了一池塘鱼,现在要与销售商签订合同,但王老汉的烦恼来了,他不知道鱼塘中大约有多少条鱼,也不知道鱼塘中鱼的总重量为多少,怎么办呢? 学生被问题吸引住了,开始积极动脑筋,各抒己见。有的说:“可以先算出一定体积的鱼的数量。”有的说:“可以利用浮头现象。”有的说:“可以再建一个池塘”等等。这些方法经过学生认真琢磨,发现并不可...

  王老汉的烦恼 概率与频率的应用 “铃”伴随着清脆铃声的响起,我踏上了讲台。 “同学们,今天请大家来帮助王老汉来解决一下难题,好吗?” 同学们都显出了极浓的兴趣。 我于是在黑板上展示了问题:王老汉养了一池塘鱼,现在要与销售商签订合同,但王老汉的烦恼来了,他不知道鱼塘中大约有多少条鱼,也不知道鱼塘中鱼的总重量为多少,怎么办呢? 学生被问题吸引住了,开始积极动脑筋,各抒己见。有的说:“可以先算出一定体积的鱼的数量。”有的说:“可以利用浮头现象。”有的说:“可以再建一个池塘”等等。这些方法经过学生认真琢磨,发现并不可行,这个问题在学生脑海中形成悬念。然后我告诉他们,这也是一类概率的问题。学生显得很兴奋,建议用“列表法”或“树状图法”来解决。之后发现无从下手,问题再次陷入“瓶颈”状态,这时有学生提出了模拟试验,大家七嘴八舌地发表自己的看法。有的说:“用转盘。”有的说:“用骰子。”有的说:“用纸牌。”有的说:“摸球”等等,十分活跃。 我趁机肯定了大家的想法,接下来用多媒体展示: 在一个不透明的口袋里装有只有顔色不同的黑白两种顔色的球,共 20 个,某学习小组做摸球试验,将球搅匀后从中随机摸出一个球并记下顔色,再把它放回袋中,不断重复。下表是活动进行中的一组 统计数据: 摸 球 的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸 到 白球 的 次数 m 58 96 116 295 484 601 摸 到 白球 的 频率 m/n 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)、请估计:当 n 很大时,摸到白球的频率将会接近__________. (2)、假如你去摸一次,你摸到白球的概率是________,摸到黑球的概率是_________________. (3)、试估算口袋中黑、白两种顔色的球各有多少个? 同学们略加思考,就把这个问题解决掉了。因为我们上节课已经分析过,通过试验来估计不确定事件发生概率的大小,通常是在试验次数越多,事件发生的频率值逐渐稳定时,才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率。 同时我向同学们提问:“为什么題中提到每摸一个球放回后,要把球搅匀?”同学们立马回答:“使试验具有随机性。”我立即肯定了同学们的说法。 接下来,我提醒:“如果球的总数很大时,一个一个摸球能做到 吗?”马上有学生说:“太麻烦,太累人了。”我趁机问:“那该怎么办?”有的学生说:“我一次可以多摸几个。”“请举例说明一下。”“我可以设黑球有 x 个,假设一次摸 10 个球,其中 2 个白球,则2/10=10/(10+x),从而求出 x 。”大家纷纷表示赞同。于是我又问:“那么如果我又摸一次,其中有 4 个白球,则有 4/10=10/(10+x),从而 x可求出,那么你认为结果应该按哪个计算呢?”这时学生都陷入深思中,一会后,很多学生举手,其中一个学生说:“可以求 2/10 与 4/10的平均数,等于 10/(10+x)。” “很好,如果做 100 次或 500 次试验呢?”“求 100 次或 500 次的平均数。”学生都明白了,这样学生就得出要想使试验结果更加精确,可以求多次试验的平均数,于是得出方法二:多次试验的平均数=10/(10+x)。 然后针对这两种方法,让学生分组讨论它们的优缺点,最后汇总,得到第一种方法,要使结果更加精确,那么试验次数必须足够多,但实践中不可能无限地做试验,因此现实意义不大。第二种方法:当总数较少时,精确度较差,但对于总数力大时,这个方法还是可行的, 看到同学们理解得这么好,我又提出了:“若盒子中没有白球,该怎样估计黑球数呢?”由于这个问题存在难度,所以分组讨论再拿出解决方案,经过探讨,有的小组说:“可以拿出几个黑球涂上白色。”也有的说:“可以向盒子中放入同质地同大小的白球,听到这些学生都纷纷赞同。 见学生已经掌握了用部分来估计总体的思想,我便引导学生来解决“王老汉的难题” 由于前面准备工作充分,达到水到渠成之效,几乎全班同学都举手跃跃欲试,有的说: “我往池塘放入一定数量池塘中原来没有的鱼。”有的说:“我想先捞出 100 条,做上记号,放回一段时间后,再捞出200 条,发现 10 条有记号的鱼,然后通过 10/200=100/x,就可以求出鱼的数目。并称出这 200 条鱼的重量,求出平均每一条鱼的重量,就可以估计池塘中鱼的重量。”看看同学们回答得多完整,特别是“一段时间”后充分表明了学生体会到了做试验的随机性。 我接着问:“那么,大家想一下用这种方法还能解决现实生活中的哪些问题呢?”有的说:“能知道我县有多少辆上海通用轿车。”有的说:“能知道树林中有多少只鸟。”有的说:“能知道一次摸奖活动中的中奖概率。”等等。 接下来我设计了以下思考题: 问题一:你能设计一个方案估算出树林中某种动物的多少吗? 问题二:往一个装有很多黑棋的袋子中放入 20 个红棋,每次倒出 10 个,记下所倒红棋数目,再把它们放回去,共倒了 200 次,倒出红棋 300 个,袋子中原有黑棋多少个? 本节课即将结束时,我总结说:“让我代表王老汉感谢同学生们帮他解决了难题。同时,我们在这节课的学习实践中既学了知识,解决了问题,又体验到了团结合作的乐趣,希望大家能学有所用。下课!”